Examensarbeten - Master Projects
If you are interested in writing a Master Thesis
(Diploma) with me you may come and discuss it any time. Below
you find few of such proposals, but I have much more!Â
Om du vill skriva examensarbete med mig som
handledare titta gärna förbi och vi kan diskutera
olika inriktningar. Du kan hitta några
projektbeskrivningar på denna sida, men jag har flera
andra!
Förslag på examensarbeten
Här kommer några projekt som handlar om
kvantgrafer:
- Tritarr
Tritarr är ett system som består av tre sträng
som är knytna ihop i en punkt. Den påminner om en
gitarr och kan även användas för att spela musik.
På en gitarr ändrar man frekvenserna genom att
ändra strängens längd. Hur går det om man
vill spela tritarr? Blir det lättare eller svårare?
Tritarr kan beskrivas med hjälp av vågekvationer
på en graf med tre kanter. Tritarr är ett exempel
på en kvantgraf och kan beskrivas med hjälp av
vågekvation på en metrisk graf. Man har redan
börjat utveckla teori för tritarr men den inte är
färdig än och det finns gott om problem som
måste undersökas.
- Vågekvationer på fraktaler
Fraktaler kan betraktas som metriska grafer och det kan vara
intressant att studera vågekvationer på sådana
strukturer. Det är ett exempel på kvantgraf som har
oändligt många kanter. Det finns ingen allmän
teori för sådana kvantgafer. Man har bara studerat
enstaka fraktaler och deras spektrum. Det är viktigt att
undersöka sambandet mellan fraktalens totala längd och
spektrum. Projektet kan fortsätta och leda till en artikel
eller även en doktorsavhandling.
- Isospekrala kvantgafer och representaionsteori
Projektet handlar om Laplace ekvationer på metriska
grafer. Grafer som leder till operatorer med exakt samma
spektrum kallas för isospektrala. Man kan bevisa att grafer
med linjärt oberoende kantlängder kan inte vara
isospektrala. Alla kända exempel på isospektrala
grafer är konstruerade med hjälp av
representaionsteori för grupper. Är det möjligt
att hitta isospektrala grafer som inte kommer från
gruppteori?
Ett projekt inom matematisk fysik:
- PT-symmetriska potentialer och Darboux
transformationer
Darboux transformationer använder man för att få
så-kallade Bargmann potentialer. Schrödinger ekvation
med sådana potentialer kan lösas exakt, d.v.s. man
kan räkna ut alla egenfunktioner och spektrum exakt. Alla
Bargmann potentialer är rella och motsvarande
differentialoperatorer är symmetriska
(självadjungerade). På senare tiden blev det
populärt att betrakta Schrödinger operatorer med icke
reella men PT-stmmetriska potentialer. Sådana potentialer
leder till operatorer med komplexa egenvärdena. Syftet med
projektet är att generalisera Darboux transformationer
för att hitta PT-symmetriska potentialer som kan lösas
exakt. Jag tror inte att man behöver kunna avancerad
matematik men problemet ligger vid frontlinjen för den
moderna forskningen.
Jag har flera andra projekt som handlar om
operatorteori, matematisk fysik och differentialekvationer. Det
finns projekt som handlar om matematiska tillämpningar inom
industri eller fysik.